MAKALAH
Matematika Ekonomi dan
Keuangan
“Fungsi Linear”
Oleh:
Muhammad Afif Ma’ruf
(15820035)
Septikawati Kusumaningrum
(15820047)
Luthfi Andika (15820045)
Lanika Cahya Indira
(15820056)
Fakultas Ekonomi dan Bisnis Islam
UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
2015
1.
Pendahuluan
A.
Kata
Pengantar
Puji
syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan
karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan tugas makalah Fungsi Linear dengan baik tanpa adanya
kendala apapun yang berarti.
Tugas makalah Fungsi Linear dan Penerapannya di Ilmu Ekonomi ini kami susun agar dapat memenuhi salah satu tugas pada
mata kuliah Matematika Ekonomi dan Keuangan. Tujuan lain penyusunan tugas ini
adalah supaya para pembacanya dapat memahami tentang matematika terapan dalam
bisnis dan ekonomi.
Materi pada
makalah ini kami buat dengan menggunakan bahasa yang sederhana supaya
dapat dimengerti oleh pembaca.
Akhirnya,
kami ucapkan terima kasih kepada pihak – pihak yang telah memberikan
kontribusinya dalam penyelesaian makalah ini.
Saran dan
kritik dari berbagai pihak kami harapkan untuk menyempurnakan makalah ini.
Demikian, terimakasih
Yogyakarta,
01 Oktober 2015
B. Latar Belakang
Apabila kita cermati,
hampir semua fenomena yang terjadi di jagad raya ini mengikuti hukum sebab
akibat. Adanya pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran
matahari pada porosnya. Jarak (S) yang ditempuh oleh suatu mobil misalnya,
dipengaruhi oleh waktu tempuhnya (t).
Demikian juga demand
(d) konsumen dipengaruhi oleh quantity (q) barang dan price(p) nilai harga yang
ada di pasaran. Dalam bahasa matematika dapat dinyatakan bahwa jarak adalah
fungsi dari waktu, demand merupakan fungsi dari jumlah dan harga barang. Ini
berati begitu pentingnya pemahaman fungsi dalam menjelaskan fenomena jagad raya
ini.
Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di sekolah, tidak sedikit siswa
yang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang fungsi linear
sehingga kami ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Dosen kepada
kelompok kami yaitu pembuatan makalah yang berjudul tentang ”Fungsi Linear dan Penerapannya dalam Ilmu Ekonomi.
C.
Tujuan
1.
Makalah ini dibuat dengan tujuan meningkatkan wawasan dan kemampuan
mahasiswa agar tidak mendapatkan kesulitan dalam pembelajaran matakuliah
tentang matematika ekonomi .
2.
Untuk mendapat tambahan nilai tugas matakuliah matematika ekonomi.
D. Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi
yang dibahas dalam makalah ini adalah fungsi linear
2. Pembahasan
I.
Pengertian
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang
menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variable
dengan variable lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variable,
koefisien dan konstanta. Sedangkan Fungsi Linear
adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu,
sehingga membentuk garis lurus dengan kemiringan tertentu (m).
Bentuk umum persamaan linier adalah :
y = a + bx
dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah
koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.
II.
Pembentukan Persamaan Linier
1. Cara
dwi-koordinat
Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah
persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah
titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan
(x2, y2),maka
rumus persamaan liniernya adalah :
Contoh Soal:
Misalkan
diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:
4y -12 = 2x
– 4,
4y = 2x+ 8 ,
y = 2 + 0,5
x
2.
Cara koordinat-lereng
Apabila diketahui sebuah titik A
dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka
persamaan liniernya adalah :
Contoh Soal
:
Andaikan diketahui bahwa titik
A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua
persamaan kedua data ini adalah
3.
Cara penggal-lereng
Sebuah persamaan linier dapat pula
dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng
garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah :
y=ax+b ; a =
penggal, b = lereng
Contoh Soal
:
Andaikan penggal dan lereng garis y =f (x)
masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah : y=2+5x
4.
Cara dwi-penggal
Sebuah persamaan linier dapat pula
dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing-masing sumbu, yaitu
penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horisontal (
ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :
Keterangan: a = penggal vertikal
b = penggal horisontal
Contoh Soal :
Andaikan penggal sebuah garis pada
sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4 , maka persamaan
liniernya adalah :
III.
Hubungan Dua garis lurus
1.
Berimpit
Dua garis lurus akan berimpit
apabila keduanya mempunyai kemiringan yang sama dan keduanya mempunyai titik
persekutuan. Dengan
demikian, garis y1=a1+b1 x akan
berimpit dengan garis y2=a2+b2
x , jika y1=ny2, a1=
na2, b1=nb2
y1=ny2
a1= na2
b1=nb2
2.
Sejajar
Dua garis lurus akan sejajar apabila
lereng garis yang satu sama dengan lereng dari garis yang lain. Dengan demikian
, garis y= a1+b1 x akan sejajar dengan garis y= a2+b2 x, jika b1=b2.
3.
Berpotongan
Dua garis
lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan
lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis y1=a1+b1x akan berpotongan dengan garis y2=a2+b2x, jika b1 ≠ b2
4.
Tegak lurus
Dua garis lurus akan saling tegak
lurus apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng dari garis
yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis y1=a1+b1x akan tegak lurus dengan garis y2=a2+b2x, jika atau b1 = -1 ̸ b2
y
90o
0 x
IV.
Penerapan Ekonomi
1.
Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar
a.
Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan
hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh konsumen dengan variabel
harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu.
Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen,
harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling
berhubungan dan selera konsumen
Bentuk Umum
Fungsi Permintaan :
Q = a –
bP atau
p
a ̸ b
a Q
p p
Dalam bentuk persamaan diatas
terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah)
mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu
apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun
jumlah yang diminta akan bertambah.
b.
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan
hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh produsen dengan
variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode
tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat
teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan,
harga produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap
harga produk tersebut di masa mendatang
Bentuk Umum
:
Q = -a +
bP atau
P
a ̸ b
-a Q
P
Dalam bentuk persamaan diatas
terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah)
mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan, hukum penawaran yaitu apabila harga
naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang
ditawarkan akan berkurang.
c.
Keseimbangan Pasar
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam
keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut
sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.
P
Pe
Qs
- - - - - E
0 Qs Qd Q
Syarat
Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Contoh Soal :
Fungsi
permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi
penawarannya adalah Qs = – 4 + 9P
a.
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?
b.
Tunjukkan secara geometri !
Jawab :
a.)
Keseimbangan pasar :
Qd =
Qs
10 – 5
P = – 4 + 9P
14P
= 14
P
= 1 ≡ Pe
Q
= 10 – 5P
Q
= 5 ≡ Qe
Harga dan
jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
Berikut adalah hasil jawaban jika ditampilkan di dalam
kurva:
9
8
7
6
5
4
3 Qd= 10-5p Qs= -4+9p
2 Q=
(6, 1)
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.
Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika produk dikenakan pajak t per
unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik
harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagian dikenakan
kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta
akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat
digambarkan sebagai berikut.
P
Qs’
Qs
Pe’
Pe
Q
Qe’ Qe
Pengenaan pajak sebesar t atas
setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas,
dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan
penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t
Beban pajak
yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe‘
– Pe
Beban pajak
yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tk
Jumlah pajak
yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qe‘
Contoh soal :
Diketahui
suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaran
P = 16 – 2Q.
Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
- Berapa harga dan jumlah keseimbangan
pasar sebelum dan sesudah pajak ?
- Berapa besar penerimaan pajak
oleh pemerintah ?
- Berapa besar pajak yang
ditanggung kosumen dan produsen ?
Jawab :
- Keseimbangan pasar sebelum
pajak
Qd
= Qs
7 + Q
= 16 –
2Q
P = 7 + Q
3Q
=
9
P = 7 + 3
Qe
=
3
Pe
= 10
Jadi
keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
Keseimbangan
pasar sesudah pajak
Fungsi
penawaran menjadi :
P
= 16 – 2Q + t
= 16 –
2Q + 3
= 19 –
2Q
Os
= Qd
19 –
2Q = 7 + Q
3Q
= 12
Qe‘
= 4
P
= 19 – 2Q
= 19 –
8
Pe‘
= 11
Jadi
keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 4,11 )
- T = t x
Qe‘
= 3 .
4
=
12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )
- tk = Pe‘
– Pe
= 11 –
10
=
1 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 1,- )
tp
= t – tk
= 3 –
1
=
2 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 2,- )
3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan
Pasar
Subsidi yang diberikan atas
produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi
lebih rendah.
Jika produk dikenakan subsidi s per
unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas
produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P
= a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s
P
Qs’
Qs
E
Pe’ E
Qd
Pe
Q
Qe’ Qe
Bagian
subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe
– Pe‘
Bagian
subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp =
s – sk
Jumlah
subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x
Qe‘
Contoh Soal :
Permintaan
akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan
penawarannya Qs = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi
sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.
a.
Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b.
Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c.
Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d.
Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab :
a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi
Qd =
Qs Q = 12 – 2P
12 –
2P = -4 +
2P
= 12 – 8
P
=
16
Qe = 4
Pe
=
4
( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))
b. Keseimbangan pasar sesudah
subsidi :
Qd
= 12 – 2P => P =
½ Qd + 6
Qs
= -4 + 2P => P
= ½ Qs + 2
Sesudah
Subsidi Fungsi Penawaran menjadi
P
= ½ Q + 2 – 2
P
= ½ Q
Sehingga
Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi :
– ½ Q +
6 = ½ Q
Qe‘
= 6
P
= ½ Q
Pe‘
= 3
c.
Keseimbangan pasar setelah subsidi E’ = ( 6, 3 ) )
sk = Pe – Pe‘
sp
= s – sk
=
4 – 3
=
2 – 1
=
1
= 1
(Besar
subsidi untuk konsumen Rp. 1,- ) ( Besar subsidi untuk
produsen = Rp. 1,- )
d.
Subsidi yang diberikan pemerintah
S
= s x Qe‘
= 2 .
6
= 12
4.
Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan
a.
Fungsi Biaya
Biaya total (total cost) yang
dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya
tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sifat biaya tetap adalah
tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, biaya tetap merupakan
sebuah konstanta. Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang
dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula
biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari
jumlah barang yang dihasilkan.
FC = k
VC = f(Q) =
vQ
C = g (Q) =
FC + VC = k + vQ
C
C=K+Vq
Vc=Vq
K Fc=K
0 Q
Keterangan ;
FC = biaya
tetap
VC= biaya
variabel
C = biaya total
k =
konstanta
V = lereng
kurva VC dan kurva C
Contoh Soal :
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh
sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan
oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya ! Berapa
biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 500 unit
barang ?
Jawab :
FC = 20.000
VC = 100 Q
C = FC + VC
→ C = 20.000 + 100 Q
Jika Q =
500, C = 20.000 + 100(500) = 70.000
b.
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali
jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.
R = Q x P =
f (Q)
Contoh Soal:
Harga jual produk yang dihasilkan
oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva
penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang
sebanyak 350 unit ?
Jawab :
R = Q x P
= Q x 200 =
200Q
Bila Q = 350
→ R = 200 (350) = 70.000
5.
Analisis Pulang Pokok
Analisis Pulang Pokok (break-even)
yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang
harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan
pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak
memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal
ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.
Contoh Soal :
Andaikan biaya total yang
dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20.000 + 100 Q dan
penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami
pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ?
Jawab :
Diketahui :
C
= 20.000 + 100Q
R
= 200Q
Syarat
Pulang Pokok
R
= C
300Q
= 20.000 + 100Q
200Q
= 20.000
Q
= 100
Jadi pada
tingkat produksi 100 unit dicapai keadaan pulang pokok
Jika Q =
150, maka
π = R – C
= 300Q
– ( 20.000 + 100Q)
=
200 Q – 20.000
= 200(150) –
20.000
= 10.000
( Perusahaan
mengalami keuntungan sebesar Rp. 10.000,- )
3. Daftar Pustaka
Dumairy,
Ning. 2011. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-
Yogyakarta.
Nababan, M. 1998. Pengantar Matematika untuk Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta, Penerbit Erlangga Jakarta.
Kalangi, Josep Bintang.
2002. Matematika Ekonomi dan Bisnis,
Jakarta, PT Salemba Emban Patria.
Santoso, Ettij Iswanti,
2006. Matematika Ekonomi; Fungsi dan
Aplikasi. Yogyakarta, Graha Ilmu.
Hidayat, Wahyu. Dkk, 2012. Matemaika Ekonomi. Malang, Penerbit
Universitas Muhammadiyah Malang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar